Разлика између линеарних и нелинеарних диференцијалних једначина

Линеарне вс нелинеарне диференцијалне једначине
 

Једначина која садржи најмање један диференцијални коефицијент или дериват непознате променљиве позната је као диференцијална једначина. Диференцијална једначина може бити линеарна или нелинеарна. Обим овог чланка је објаснити шта је линеарна диференцијална једначина, шта је нелинеарна диференцијална једначина и која је разлика између линеарних и нелинеарних диференцијалних једначина.

Од развоја математичара као што су Невтон и Леибнитз у 18. веку, диференцијална једначина је играла важну улогу у математичкој причи. Диференцијалне једнаџбе су од велике важности за математику због свог обима примене. Диференцијалне једначине су у срцу сваког модела који развијемо да објаснимо било који сценарио или догађај на свету било да се ради о физици, инжењерству, хемији, статистици, финансијској анализи или биологији (листа је бескрајна). У ствари, све док калкулирање није постало утврђена теорија, одговарајући математички алати нису били доступни за анализу занимљивих проблема у природи.

Резултат једнаџби из специфичне апликације израчуна може бити веома сложен и понекад није решив. Међутим, постоје и они које можемо решити, али могу изгледати подједнако и збуњујуће. Стога су, ради лакше идентификације, диференцијалне једнаџбе категорисане према математичком понашању. Линеарна и нелинеарна је једна таква категоризација. Важно је утврдити разлику између линеарних и нелинеарних диференцијалних једначина.

Шта је линеарна диференцијална једначина?

Претпостављам да ф: Кс → И и ф (к) = и, а диференцијална једначина без нелинеарних израза непознате функције и а њени деривати познати су као линеарна диференцијална једначина.

Намеће услов да и не може имати израженије индексе као што је и², и³,… И више деривата као што су 

Такође не може да садржи нелинеарне појмове, као што је Син и, е^{и^ -2}, или лн и. Има форму, 

где и и г су функције Икс. Једнаџба је диференцијална једначина реда н, што је индекс деривата највишег реда.

У линеарној диференцијалној једначини диференцијални оператор је линеарни оператор и решења формирају векторски простор. Као резултат линеарне природе скупа решења, линеарна комбинација решења је такође решење диференцијалне једначине. То је, ако и₁ и и₂ су тада рјешења диференцијалне једначине Ц₁ и₁+ Ц₂ и₂ је такође решење.

Линеарност једначине само је један параметар класификације, а она се даље може категорисати у хомогене или нехомогене и обичне или парцијалне диференцијалне једначине. Ако је функција г= 0 тада је једначина линеарна хомогена диференцијална једначина. Ако ф је функција две или више независних променљивих (ф: Кс, Т → И) и ф (к, т) = и , тада је једначина линеарна парцијална диференцијална једначина.

Метода решења диференцијалне једначине зависи од типа и коефицијената диференцијалне једначине. Најлакши случај настаје када су коефицијенти константни. Класичан пример за овај случај је други закон гибања Њутон и његове различите примене. Њутнов други закон производи линеарну диференцијалну једначину другог реда са константним коефицијентима.

Шта је нелинеарна диференцијална једначина?

Једнаџбе које садрже нелинеарне изразе познате су као нелинеарне диференцијалне једначине.

 

Све горе су нелинеарне диференцијалне једначине. Нелинеарне диференцијалне једначине је тешко решити, па је потребно детаљно проучавање да би се добило исправно решење. У случају парцијалних диференцијалних једначина, већина једначина нема опште решење. Стога се свака једначина мора третирати независно.

Навиер-Стокесова једначина и Еулерова једнаџба у динамици флуида, Еинстеинове једнаџбе поља опште релативности су добро познате нелинеарне парцијалне диференцијалне једначине. Понекад примена Лагрангеове једначине на променљиви систем може да резултира системом нелинеарних парцијалних диференцијалних једначина.

Која је разлика између линеарних и нелинеарних диференцијалних једначина?

• Диференцијална једначина, која има само линеарне изразе непознате или зависне променљиве и њене деривате, позната је као линеарна диференцијална једначина. Нема термина са зависном променљивом индекса већим од 1 и не садржи ниједан вишеструки његов дериват. Не може имати нелинеарне функције као што су тригонометријске функције, експоненцијална функција и логаритамске функције у односу на зависну променљиву. Свака диференцијална једначина која садржи горе поменуте изразе је нелинеарна диференцијална једначина.

• Решења линеарних диференцијалних једначина стварају векторски простор, а диференцијални оператор је такође линеарни оператор у векторском простору.

• Решења линеарних диференцијалних једначина су релативно лакша и постоје општа решења. За нелинеарне једначине у већини случајева опште решење не постоји и решење може бити специфично за проблем. То отежава рјешење много тежим од линеарних једначина.