Разлика између ортогоналног и ортонормалног

Ортогонал вс Ортонормал

У математици се две речи ортогонално и ортонормално често користе заједно са скупом вектора. Овдје се термин 'вектор' користи у смислу да је елемент векторског простора - алгебарска структура која се користи у линеарној алгебри. За нашу дискусију размотрићемо простор унутрашњег производа - векторски простор В заједно са унутрашњим производом [] дефинисано на В.

Као пример, за унутрашњи производ, простор је скуп свих тродимензионалних вектора позиције, заједно са уобичајеним тачканим производом.

Шта је ортогонално?

Непразна подскупина С унутрашњег простора производа В се каже да је ортогонално, ако и само ако за сваког изразито у, в ин С, [у, в] = 0; тј. унутрашњи производ у и в је једнака нула скалара у унутрашњем простору производа.

На пример, у скупу свих тродимензионалних вектора позиција, то је еквивалентно казивању да је за сваки различит пар вектора положаја п и к у С, п и к су окомите једна на другу. (Имајте на уму да је унутрашњи производ у овом векторском простору тачкасти продукт. Такође, тачкасти продукт два вектора је једнак 0 ако и само ако су два вектора окомита један на други.)

Размислите о сету С = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), што је подскуп тродимензионалних вектора положаја. Узмите у обзир да је (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Дакле, скуп С је ортогонално. Нарочито се кажу да су два вектора ортогонална ако је њихов унутрашњи производ 0. Стога је сваки пар вектора унутра Сје ортогонално.

Шта је ортонормално?

Непразна подскупина С унутрашњег простора производа В каже се да је ортонормално ако и само ако С је ортогонално и за сваки вектор у ин С, [у, у] = 1. Стога се види да је сваки ортонормални скуп ортогонални, али не и обрнуто.

На пример, у скупу свих тродимензионалних вектора позиција, то је еквивалентно казивању да је за сваки различит пар вектора положаја п и к ин С, п и к су окомите једна на другу и за сваку п ин С, | п | = 1. То је зато што је услов [п, п] = 1 се своди на п.п = | п || п |цос0 = | п |²= 1, што је еквивалентно | п | = 1. Стога, с обзиром на ортогонални скуп, увек можемо формирати одговарајући ортонормални скуп дељењем сваког вектора на његову величину.

Т = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) је ортонормални подскуп скупа свих тродимензионалних вектора положаја. Лако је видети да је добијена дељењем сваког од вектора у сету С, по њиховим величинама.

Која је разлика између ортогоналног и ортонормалног?

• Непразна подскупина С унутрашњег простора производа В каже се да је ортогонално, ако и само ако је за свако засебно у, в ин С, [у, в] = 0. Међутим, то је ортонормално, ако и само ако је додатни услов - за сваки вектор у ин С, [у, у] = 1 је задовољан.
• Било који ортонормални скуп је ортогонални, али не и обрнуто.
• Било који ортогонални скуп одговара јединственом ортонормалном скупу, али ортонормални скуп може одговарати многим ортогоналним скупима.