Разлика између Повер Сериес и Таилор Сериес

Повер Сериес вс Таилор Сериес

У математици, прави низ је уређени списак реалних бројева. Формално, то је функција од скупа природних бројева до скупа реалних бројева. Ако а_нје тада^тх термин секвенце, означавамо низ са или са а₁, а₂,..., а_н,… .За пример, размотрите низ 1, ½, ⅓,… , ¹/_н,…. Може се означити као 1 / н.

Могуће је дефинисати серију помоћу секвенци. Серија је збир термина низа. Дакле, за сваки низ постоји придружени низ и обрнуто. Ако_н је секвенца која се разматра, тада се низ формиран тим низом може представити као:                                           

 Дакле, у горњем примеру, придружени низ је 1+¹/₂+¹/₃+…  + ¹/_н +… . 

Као што имена сугерирају, серија снаге је посебна врста серија и она се широко користи у нумеричкој анализи и сродном математичком моделирању. Таилор серија је посебна серија снаге која пружа алтернативни и једноставан за манипулисање начин представљања добро познатих функција.

Шта је Повер серија?

Серија снаге је низ облика

    

која је конвергентна (вероватно) за неки интервал усредсређен на ц. Коефицијенти а_н могу бити стварни или сложени бројеви и не зависе од Икс; тј. лутка променљива.

На пример, подешавањем а_н= 1 за сваки н, и ц = 0, снага снаге 1 + к + к²+… + Кс^н+… се добија. Лако је уочити да када је к ε (-1,1), овај низ снага конвергира у 1 / (1-к).          

Серија напајања конвергира када Икс = ц. Остале вредности Икс за које се снага снаге конвергира увек ће имати облик отвореног интервала у који је центриран ц. То је, биће вредност 0≤ Р ≤ ∞ такав да за сваког Икс задовољавајући | к-ц | ≤Р, серија снаге је конвергентна и за сваку Икс  задовољавајући | к-ц |>Р, серија напајања је различита. Ова вредност Р назива се радијус конвергенције енергетских серија (Р може узети било коју стварну вредност или позитивну бесконачност).

Серије снаге могу се сабирати, одузимати, множити и делити користећи следећа правила. Размотримо две серије снаге:       

   

                               .

Онда,                 

тј. попут израза се сабирају или одузимају заједно. Такође, могуће је множити и делити две серије снаге користећи идентитет,

Шта је Таилор серија?

Таилор серија је дефинисана за функцију ф(Икс) који је у интервалу бескрајно различит. Претпоставимо ф(Икс) може се разликовати на интервалу у коме је концентрирано ц. Тада је снага снага коју даје

                                                                                                                                

назива се Таилор серија проширењем функције ф(Икс) О томе ц. (Ево ф^(н)(ц) Означава н^тх дериват ат Икс = ц). У нумеричкој анализи, коначан број израза у овом бесконачном проширењу користи се за израчунавање вредности у тачкама где је серија конвергентна оригиналној функцији.

Функција ф(Икс) каже се да је аналитички у интервалу (а, б), ако је за сваки к ε (а, б), Таилор-ова серија ф(Икс) конвертира се у функцију ф(Икс). На пример, 1 / (1-к) је аналитички на (-1,1), од када је Таилорова експанзија 1 + к + к²+… + Кс^н+... конвертира се у функцију у том интервалу и е^Икс  је аналитичка свуда од Таилор серије е^Иксконвергира у е^Икс за сваки стварни број Икс.

Која је разлика између Повер серија и Таилор серија?

1. Таилор-ова серија је посебна класа снага снаге која је дефинисана само за функције које су на неком отвореном интервалу бескрајно диференциране.

2. Таилор серије имају посебан облик

        

док серија снаге може бити било која серија облика