Разлика између дефинитивних и неодређених интеграла

Израчун је важна грана математике, а диференцијација игра критичну улогу у рачуници. Инверзни процес диференцијације познат је као интеграција, а инверзни је познат као интеграл или, просто речено, инверзија диференцијације даје интеграл. На основу резултата, они добивају интеграле који су подељени у две класе, тј. Одређене и неодређене интеграле.

Дефините Интеграл

Дефинитивни интеграл од ф (к) је БРОЈ и представља подручје испод кривуље ф (к) од к = а до к = б.

Одређени интеграл има горњу и доњу границу интеграла, а зове се дефинитиван, јер на крају проблема имамо број - то је дефинитиван одговор.

Неодређен интеграл

Неодређени интеграл ф (к) је ФУНКЦИЈА и одговара на питање „Која функција када се диференцира даје ф (к)?“

Са неодређеним интегралом овде нема горњих и доњих граница интеграла, а оно што ћемо добити је одговор који још увек постоји Иксје у њему и имаће константу (обично се означава са Ц) у томе.

Неодређени интеграл обично даје генерално решење диференцијалне једначине.

Неодређени интеграл је општији облик интеграције и може се тумачити као анти-дериват разматране функције.

Претпоставимо диференцијацију функција Ф доводи до друге функције ф, а интеграција ф даје интеграл. Симболично, ово је записано као

Ф (к) = ∫ƒ (к) дк

или

Ф = ∫ƒ дк

где обоје Ф и ƒ су функције Икс, и Ф је различит. У горњем облику се назива Реиманнов интеграл и резултирајућа функција прати произвољну константу.

Неодређени интеграл често производи породицу функција; према томе, интеграл је неодређен.

Интеграли и процес интеграције су у средишту рјешавања диференцијалних једначина. Међутим, за разлику од корака у диференцијацији, кораци у интеграцији не воде увек јасну и стандардну рутину. Повремено видимо да решење не може бити експлицитно изражено у елементарној функцији. У том случају аналитичко решење се често даје у облику неодређеног интегралног дела.

Темељни теорем калкулуса

Одређени и неодређени интеграл повезани су Темељним теоремом израчуна како следи: Да би се израчунао дефинитивни интеграл, пронађи неодређени интеграл (такође познат као анти-дериват) функције и проценити на крајњим тачкама к = а и к = б.

Разлика између одређених и неодређених интеграла биће евидентна када проценимо интеграле за исту функцију.

Размотрите следећи интеграл:

ОК. Хајде да направимо обоје и да видимо разлику.

За интеграцију морамо додати један индекс који нас води до следећег израза:

У овом тренутку Ц је само константа за нас. Додатне информације су потребне у проблему да би се утврдила тачна вредност Ц.

Процијенимо исти интеграл у његовом одређеном облику, тј. Са укљученом горњом и доњом границом.

Графички гледано, сада рачунамо подручје испод кривуље ф (к) = и³ између и = 2 и и = 3.

Први корак у овој евалуацији исти је као и неодређено интегрално вредновање. Једина разлика је што овај пут около не додајемо константу Ц.

Израз у овом случају изгледа на следећи начин:

Ово на крају води ка:

У суштини, у изразу смо супституисали 3, а затим 2 и добили разлику између њих.

Ово је дефинитивна вредност за разлику од употребе константе Ц раније.

Истражимо константни фактор (с обзиром на неодређени интеграл) мало више детаља.

Ако је разлика од и³ је 3и², онда

∫3и²ди = и³

Међутим, 3и² може бити разлика у многим изразима, од којих неки укључују и³-5, и³+7, итд ... Ово подразумева да преокрет није јединствен јер константа није узета у обзир током рада.

Дакле уопште, 3и² је разлика од и³+Ц где Ц је било која константа. Узгред, Ц је познат као константа интеграције.

То пишемо као:

∫ 3и².дк = и³ + Ц

Технике интеграције за неодређени интеграл, попут претраживања табеле или Рисцх интеграције, могу додати нове дисконтинуитете током процеса интеграције. Ови нови дисконтинуитети се појављују зато што анти-деривати могу захтевати увођење сложених логаритми.

Сложени логаритми имају прекид скока када аргумент пређе преко негативне стварне осе, а алгоритми за интеграцију понекад не могу да нађу репрезентацију где ови скокови отказују.

Ако се одређени интеграл вреднује прво рачунањем неодређеног интегритета, а затим постављањем граница интеграције у резултат, морамо бити свесни да неограничена интеграција може произвести дисконтинуитете. Ако се то догоди, додатно морамо истражити и дисконтинуитете у интервалу интеграције.