Разлика између рационалних и ирационалних бројева

Израз „бројеви“ доноси нам на памет оно што се углавном класификује као позитивне целобројне вредности веће од нуле. Остале класе бројева укључују цели бројеви и фракције, комплекс и реални бројеви и такође негативне целобројне вредности.

Проширејући класификације бројева даље, сусрећемо се рационално и ирационалан бројеви. Рационални број је број који се може написати као део. Другим речима, рационални број се може написати као однос два броја.

Размотрите, на пример, број 6. Може се написати као однос два броја виз. 6 и 1, што доводи до односа 6/1. исто тако, 2/3, који је написан као уломак, рационалан је број.

Рационални број можемо, према томе, дефинисати као број записан у облику улома, при чему су и бројач (број на врху) и називник (број на дну) цели бројеви. Према дефиницији, стога је сваки цео број такође рационалан број.

Однос два велика броја као што је (129,367,871)/(547,724,863) такође би био пример рационалног броја из простог разлога што су и бројник и називник цели бројеви.

Супротно томе, било који број који се не може изразити у облику фракције или омјера назива се ирационалним. Најчешћи је пример ирационалног броја √2 (1.414213…). Још један популаран пример ирационалног броја је нумеричка константа π (3.141592… ).

Ирационални број може се записати као децимални број, али не и као део. Ирационални бројеви се не користе често у свакодневном животу, иако постоје на линији броја. Између њих постоји бесконачан број ирационалних бројева 0 и 1 на бројчаној линији. Ирационални број има бескрајне непоновљиве цифре десно од децималне тачке.

Имајте на уму да је често цитирана вредност од 22/7 за константу π је у ствари само једна вредност π. По дефиницији, обим круга који је подељен са двоструким полумјером је вриједност π. То доводи до више вредности π, укључујући, али не ограничено на, 333/106, 355/113 и тако даље1.

Само квадратни коријени квадратних бројева; тј., квадратни корен од савршени квадрати су рационални.

√1= 1 (Рационално)

√2 (Ирационалан)

√3 (Ирационалан)

√4 = 2 (Рационално)

√5, √6, √7, √8 (Ирационалан)

√9 = 3 (Рационално) и тако даље.

Надаље, то примјећујемо, само нтх роот оф нове моћи су рационалне. Према томе 6. роот оф 64 је рационално, јер 64 је 6. моћ, наиме 6. Снага 2. Али 6. роот оф 63 је ирационално. 63 није савршен 6тх снага.

Децимална репрезентација ирационалних неизбежно долази у слику и даје занимљиве резултате.

Када изразимо а рационално броја као децималног знака, тада ће бити децимална вредност тачно (као у 1/5= 0.20) или ће бити нетачан (као у, 1/3 ≈ 0.3333). У оба случаја постојат ће предвидљив образац цифара. Имајте на уму да када ирационалан број се изражава као децимални број, онда ће очигледно да је нетачан, јер би у супротном број био рационалан.

Штавише, неће бити предвидљивог узорка цифара. На пример,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Сада се с рационалним бројевима повремено сусрећемо 1/11 = 0.0909090.

Употреба оба знака једнакости (=) и три тачке (елипса) имплицира да, мада то није могуће изразити 1/11 тачно као децимални број, још увек га можемо приближити са онолико децималних цифара колико је дозвољено да се приближимо 1/11.

Дакле, децимални облик 1/11 сматра се нетачним. На исти начин, децимални облик  ¼ што износи 0,25, тачно је.

Ако дођу до децималног облика за ирационалне бројеве, они ће увек бити нетачни. Настављајући са примером √2, кад пишемо =2 = 1.41421356237… (Имајте на уму употребу елипсе), то одмах подразумева да нема децималног броја за √2 биће тачно. Надаље, неће постојати предвидљив образац цифара. Користећи појмове из нумеричких метода, поново можемо рационално апроксимирати за онолико децималних цифара до тачке до које смо близу √2.

Свака напомена о рационалним и ирационалним бројевима не може се завршити без обавезног доказа зашто је √2 ирационалан. При томе такође објашњавамо, класични пример а доказ контрадикација.

Претпоставимо да је √2 рационалан. То нас наводи да то представљамо као однос два цела броја, рецимо п и к.

√2 = п / к

Непотребно је рећи, п и к да немају заједничких фактора, јер да постоје неки заједнички фактори, отказали бисмо их из бројача и називника.

Упоређујући обе стране једначине, завршимо са,

2 = п2 / к2

Ово се може прикладно написати као,

п2 = 2к2

Последња једначина то сугерише п2 је чак. То је могуће само ако п сама је уједначена. То заузврат имплицира то п2 се дели на 4. Стога, к2 и последично к мора бити уједначено. Тако п и к обоје су чак и што је у супротности са нашом почетном претпоставком да немају заједничке факторе. Тако, √2 не може бити рационално. К.Е.Д.