Разлика између деривативне и диференцијалне

Дериватив вс Диференцијал
 

У диференцијалном рачуну, дериват и диференцијал функције су уско повезани, али имају врло различита значења, и користе се за представљање два важна математичка објекта повезана са диференцираним функцијама.

Шта је дериват?

Дериват функције функције мјери брзину којом се вриједност функције мијења како се њен улаз мијења. У функцијама са више варијабли промена вредности функције зависи од смера промене вредности независних променљивих. Стога се у таквим случајевима бира одређени правац и функција се у том правцу разликује. Тај дериват назива се смерним дериватом. Делимични деривати су посебна врста усмерених деривата.

Дериват функције векторске вредности ф може се дефинисати као граница где год то коначно постоји. Као што смо већ споменули, то нам омогућава стопу пораста функције ф дуж правца вектора у. У случају једноредне функције, ово се своди на добро познату дефиницију деривата,  

На пример, је свуда диференциран, а дериват је једнак граници, , која је једнака . Деривати функција као што су   постоје свуда. Одговарају једнаким функцијама .                                                                                

Ово је познато као први дериват. Обично је први дериват функције ф је означен са ф ⁽¹⁾. Сада користећи ову нотацију, могуће је дефинисати деривате вишег реда. је смерни дериват другог реда и који означава н^тх дериват по ф ^(н) за сваки н, ,  дефинише н^тх дериват.

Шта је разлика?

Диференцијал функције представља промену функције у односу на промене независне променљиве или променљиве. У уобичајеној нотацији за дату функцију ф једне променљиве Икс, укупни диференцијал реда 1 дф је дао, . То значи да за бесконачну минималну промену Икс(тј. дИкс), биће  ф ⁽¹⁾(Икс) дИкс променити у ф.

Употребом ограничења може се ова дефиниција завршити на следећи начин. Претпоставимо ∆Икс је промена Икс на произвољној тачки Икс и ∆ф је одговарајућа промена функције ф. Може се показати да је ∆ф = ф ⁽¹⁾(Икс) ∆Икс+ ϵ, где је тхе грешка. Сад, граница ∆к →0^∆ф/_∆Икс= ф ⁽¹⁾(Икс) (користећи претходно наведену дефиницију деривата) и, дакле, ∆к →0^ϵ/_∆Икс= 0. Стога је могуће закључити да је ∆к →0ϵ = 0. Сада, означавајући ∆к →0 ∆ф као дф и ∆к →0 ∆Икс као дИкс дефиниција диференцијала се добија строго. 

На пример, разлика функције је .

У случају функција две или више променљивих, укупни диференцијал функције је дефинисан као збир разлика у правцима сваке независне променљиве. Математички се може изјаснити као .