Разлика између интеграције и сумирања

Интеграција вс сумирање
 

У горњој математици средње школе, интеграција и сумирање често се налазе у математичким операцијама. Наизглед се користе као различити алати и у различитим ситуацијама, али имају врло близак однос.

Више о збрајању

Сумирање је операција додавања низа бројева и операција је често означена грчким словом великим словом Σ. Користи се за скраћење збирног износа и једнак је збиру / укупном низу. Они се често користе за представљање серија, а у суштини су то бесконачни низови који се сумирају. Такође се могу користити за означавање сума вектора, матрица или полинома.

Збир се обично врши за низ вредности које се могу представити општим појмом, као што је низ који има заједнички израз. Полазна и крајња тачка сумације су познате као доња и горња граница збирног тока.

На пример, збир секвенце а₁, а₂, а₃, а₄, ..., а_н је₁ + а₂ + а₃ +… + А_н која се лако може представити помоћу нотације сажетка као ∑^н_{и = 1} а_ја; и зове се индекс збрајања.

Многе варијације се користе за сумирање на основу апликације. У неким случајевима се горња и доња граница могу дати као интервал или опсег, као што је ∑_1≤и≤100 а_ја и ∑_{и∈ [1,100]} а_ја. Или се може дати као низ бројева попут ∑_и∈П а_ја , где је П дефинисан скуп.

У неким случајевима се могу користити два или више сигма знакова, али они се могу генерализовати на следећи начин; ∑_ј ∑_к а_јк = ∑_{ј, к} а_јк.

Такође, сумирање следи многа алгебарска правила. Пошто је уграђена операција додатак, многа уобичајена правила алгебре могу се применити на саме суме и на појединачне изразе приказане сумацијом.

Више о интеграцији

Интеграција је дефинисана као обрнути процес диференцијације. Али у свом геометријском погледу то се такође може сматрати површином затвораном кривином функције и осе. Према томе, прорачун површине даје вредност одређеног интегралног дела као што је приказано на дијаграму.

Извор слике: хттп://ен.википедиа.орг/вики/Филе:Риеманн_сум_цонвергенце.пнг

Вредност одређеног интегралног фактора је заправо збир малих трака унутар кривуље и осе. Површина сваке траке је висина × ширина у тачки на предметној оси. Ширина је вредност коју можемо да одаберемо, рецимо ∆к. А висина је отприлике вредност функције, рецимо ф(Икс_ја). Из дијаграма је видљиво да су мање траке боље да се траке стане унутар ограниченог подручја, а тиме и боља апроксимација вриједности..

Дакле, уопште дефинитивни интеграл Ја, између тачака а и б (тј. у интервалу [а, б] где је аЈа ≅ ф(Икс₁) ∆к + ф(Икс₂) ∆к + ⋯ + ф(Икс_н) ∆к, где је н број трака (н = (б-а) / ∆к). Ова сумација подручја може се лако представити употребом нотације сумирања као Ја ∑^н_{и = 1} ф(Икс_ја) ∆к. Пошто је апроксимација боља када је ∆к мањи, можемо израчунати вредност када је →к → 0. Стога је разумно рећи Ја = лим_{→к → 0} ∑^н_{и = 1} ф(Икс_ја) ∆к.

Као генерализација из горњег концепта, можемо одабрати ∆к на основу разматраног интервала индексираног и (одабиром ширине подручја на основу положаја). Онда стижемо

Ја= лим_{→к → 0} ∑^н_{и = 1} ф(Икс_ја) ∆к_ја = _а∫^б ф(к) дк

То је познато као Реиманнова интегрална функција ф(к) у интервалу [а, б]. У овом случају а и б су познати као горња и доња граница интеграл. Реиманнов интегрални основни је облик свих метода интеграције.

У суштини, интеграција је збрајање подручја када је ширина правоугаоника бесконачна.

Која је разлика између интеграције и сумирања?

• Збир је сабирање низа бројева. Обично се збир даје у овом облику ∑^н_{и = 1} а_ја када термини у низу имају образац и могу се изразити општим изразом.

• Интеграција је у основи подручје омеђено кривуљом функције, оси и горњим и доњим границама. Ово подручје може се дати као збир много мањих подручја укључених у ограничено подручје.

• Збир укључује дискретне вредности са горњим и доњим границама, док интеграција укључује континуиране вредности.

• Интеграција се може тумачити као посебан облик сумирања.

• У нумеричким методама рачунања интеграција се увек изводи као збир.