Разлика између Лапласове и Фоуриерове трансформације

Лаплаце вс Фоуриер Трансформс
 

И Лапласова и Фоуриерова трансформација су интегралне трансформације, које се најчешће користе као математичке методе за решавање математички моделираних физичких система. Процес је једноставан. Сложени математички модел се претвара у једноставнији, решив модел коришћењем интегралне трансформације. Једном када се реши једноставнији модел, примењује се инверзна интегрална трансформација, која би решењу пружила оригинални модел.

На пример, пошто већина физичких система резултира у диференцијалним једнаџбама, они се могу претворити у алгебарске једначине или у нижи степен лако решивих диференцијалних једначина користећи интегралну трансформацију. Тада ће решавање проблема постати лакше.

Шта је Лаплацеова трансформација?

С обзиром на функцију ф (т) реалне променљиве т, његова Лапласова трансформација је дефинисана интегралом (кад год постоји), што је функција сложене променљиве с. Обично је означено са Л ф (т). Инверзна Лапласова трансформација функције Ф(с) се узима као функција ф (т) на такав начин да Л ф (т) = Ф(с), и у уобичајеном математичком запису пишемо, Л ^-1Ф(с) = ф (т).Инверзна трансформација може бити јединствена ако ниједна функција није дозвољена. Могу се идентификовати ова два као линеарни оператори дефинисани у функционалном простору, а лако је и то видети, Л ^-1Л ф (т) = ф (т), ако ниједна функција није дозвољена.

Следећа табела приказује Лаплацеове трансформације неких од најчешћих функција.

Шта је Фоуриерова трансформација?

С обзиром на функцију ф (т) реалне променљиве т, његова Лапласова трансформација је дефинисана интегралом (кад год постоји) и обично се означава са Ф ф (т). Инверзна трансформација Ф ^-1Ф(α) даје интеграл . Фоуриерова трансформација је такође линеарна и може се сматрати оператором дефинираним у функционалном простору.

Користећи Фоуриерову трансформацију, оригинална функција се може записати на следећи начин под условом да функција има само ограничен број дисконтинуитета и апсолутно је интеграбилна.

Која је разлика између Лапласове и Фоуриерове трансформације?

• Фоуриерова трансформација функције ф (т) је дефинисан као , док је дефинисана лапласова трансформација .
• Фоуриерова трансформација је дефинирана само за функције дефиниране за све стварне бројеве, док Лаплацеова трансформација не захтијева дефинирање функције на постављеним негативним реалним бројевима.
• Фоуриерова трансформација је посебан случај Лаплацеове трансформације. Може се видети да се обоје поклапају за негативне реалне бројеве. (тј. узми с у Лаплацеу да буде иα + β где α и β стварно су такви е ^β= ¹/_{ᴫ (2ᴫ)})
• Свака функција која има Фоуриерову трансформацију имаће Лаплацеову трансформацију, али не и обрнуто.