Разлика између међусобно искључивих и независних догађаја

Узајамно искључиви и независни догађаји

Људи често збуњују концепт међусобно искључивих догађаја са независним догађајима. У ствари, то су две различите ствари.

Нека су А и Б било која два догађаја повезана са насумичним експериментом Е. П (А) се назива „Вероватноћа А“. Слично томе, вероватноћу Б можемо дефинисати као П (Б), вероватноћу А или Б као П (А∪Б), а вероватноћу А и Б као П (А∩Б). Тада је П (А∪Б) = П (А) + П (Б) -П (А∩Б).

Међутим, два догађаја за која се каже да су међусобно искључива ако појава једног догађаја не утиче на други. Другим речима, они се не могу појавити истовремено. Према томе, ако су два догађаја А и Б међусобно искључива, тада је А∩Б = ∅ и, дакле, то подразумева П (А∪Б) = П (А) + П (Б).

Нека су А и Б два догађаја у узорку простора С. Условна вероватноћа А, с обзиром да се Б догодио, означава се са П (А | Б) и дефинише се као; П (А | Б) = П (А∩Б) / П (Б), под условом да је П (Б)> 0. (у супротном није дефинисано.)

Каже се да је догађај А независан од догађаја Б, ако на вероватноћу да се А догоди није под утицајем да ли се Б догодио или не. Другим речима, исход догађаја Б нема утицаја на исход догађаја А. Према томе, П (А | Б) = П (А). Слично томе, Б је независно од А ако је П (Б) = П (Б | А). Дакле, можемо закључити да ако су А и Б независни догађаји, тада су П (А∩Б) = П (А) .П (Б)

Претпоставимо да је нумерисана коцка котрљана и поштена кованица бачена. Нека је А догађај да је добијање главе и Б догађај који уврштава парни број. Тада можемо закључити да су догађаји А и Б независни, јер такав исход једног не утиче на исход другог. Стога је П (А∩Б) = П (А) .П (Б) = (1/2) (1/2) = 1/4. Пошто П (А∩Б) = 0, А и Б не могу бити међусобно искључиви.

Претпоставимо да урна садржи 7 белих мермера и 8 црних мермера. Дефинишите догађај А као цртање бијелог мрамора и догађај Б као цртање црног мрамора. Под претпоставком да ће сваки мермер бити замењен након што је забележио своју боју, тада ће П (А) и П (Б) увек бити исти, без обзира колико пута црпемо из урне. Замена мермера значи да се вероватноће не мењају од жреба до цртања, без обзира коју боју смо изабрали на последњем извлачењу. Стога су догађаји А и Б независни.

Међутим, ако су се кликери цртали без замене, онда се све мења. Према овој претпоставци, догађаји А и Б нису независни. Цртање белог мрамора први пут мења вероватноће цртања црног мрамора на другом цртању и тако даље. Другим речима, сваки жреб има утицај на наредни жреб, па поједини извлачења нису независна.