Разлика између Риеманн Интеграла и Лебесгуе Интеграла

Риеманн Интеграл вс Лебесгуе Интеграл

Интеграција је главна тема калкулуса. У ширем смислу, интеграција се може посматрати као обрнути процес диференцијације. Када се моделирају проблеми из стварног света, лако је писати изразе који укључују деривате. У таквој ситуацији потребна је операција интеграције да би се пронашла функција која је дала одређени дериват.

Из другог угла, интеграција је процес који резимира производ функције ƒ (к) и δк, где δк тежи одређеној граници. Због тога симбол интеграције користимо као ∫. Симбол ∫ је у ствари оно што добијамо истезањем слова с да би се односило на суму.

Риеманн Интеграл

Размотримо функцију и = ƒ (к). Интеграл и између а и б, где а и б припадају скупу к, пише се као _б∫^аƒ (к) дк = [Ф(Икс)]_а→б = Ф(б) - Ф(а). То се назива дефинисаним интегралом јединствене вредности и континуиране функције и = ƒ (к) између а и б. Ово даје површину испод кривуље између а и б. То се такође назива Риеманнов интеграл. Риеманнов интеграл створио је Бернхард Риеманн. Риеманнов интеграл континуиране функције заснован је на јорданској мјери, према томе, дефиниран је и као граница Риеманнових сума функције. За стварну вредновану функцију дефинисану у затвореном интервалу, Риеманнов интеграл функције у односу на партицију к₁, Икс₂,… , Икс_н дефинисано на интервалу [а, б] и т₁, т₂,…, Т_н, где је к_ја ≤ т_ја ≤ к_{и + 1} за сваки и ε 1, 2,…, н, Риеманнова сума је дефинисана као Σ_{и = о до н-1} ƒ (т_ја)(Икс_{и + 1} - Икс_ја).

Лебесгуе Интеграл

Лебесгуе је друга врста интеграла која покрива широк спектар случајева него Риеманнов интеграл. Интеграл лебеге увео је Хенри Лебесгуе 1902. Интеграција Легесга може се сматрати генерализацијом Риеманнове интеграције.

Зашто требамо проучити још један интегрални део?

Размотримо карактеристичну функцију ƒ_{А (к) = 0 ако, к није ε А}^{1 ако је, к ε А} на скупу А. Затим коначна линеарна комбинација карактеристичних функција, која је дефинисана као Ф(к) = Σ а_јаƒЕ_ја(к) назива се једноставна функција ако Е_ја је мерљив за сваки и. Лебесгуе интеграл од Ф(к) више Е је означен са _Е∫ ƒ (к) дк. Функција Ф(к) није Риеманнова интеграбилна. Стога је Лебесгуеов интегрални израз Риеманнов интеграл, који има одређена ограничења функција које треба интегрисати.